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但是，为了让更多人，尤其是中学生也能理解这“最美的公式”，长尾君还是预设不懂微积分的人也能看懂文章，于是在文章里也只是非常简单地提了一些必要的微积分。现在麦克斯韦方程组讲完了，我们再来好好聊一聊微积分。
微积分有多重要相信大家多多少少心里都有点数，搞数学的不会微积分就跟中学生不会“加减乘除”一样，基本上啥都干不了。牛顿是物理学界的封神人物，然而牛顿还凭借着微积分的发明，跟阿基米德、高斯并称为世界三大数学家，这是何等荣耀？这又从侧面反映出微积分是何等地位？
我们从小学就学了各种求面积的公式，什么长方形、三角形、圆、梯形等等，然后“求阴影部分的面积”就成了小时候的一块心理阴影。
不知道大家当时有没有想过一个问题：好像我们每学一种新图形就有一个新的面积公式，可是，世界上有无数种图形啊，难道我要记无数种公式么？这太令人沮丧了！
如何求一条曲线围成的面积？
这条抛物线和直线BC围成了一个弓形（形状像一把弓箭，涂了颜色的部分），这个弓形的面积要怎么求呢？阿基米德的想法是用无数个三角形去逼近这个弓形，就好像我们用很多三角形的瓷砖去铺满这块弓形的地板一样。如果我们能把这两个小弓形的面积求出来，加上三角形ABC就可以求出原来大弓形的面积了。但是，如何求这两个小弓形的面积呢？答案是：继续用三角形去逼近！
很显然，这个过程可以无限重复下去。我们可以用1个蓝色，2个绿色的，4个黄色的，8个红色的等无穷多个三角形来逼近这个弓形。我们也能很直观地感觉到：我们使用的三角形越多，这些三角形的面积之和就越接近大弓形的面积。用三角形的面积之和来逼近这个弓形面积，这我没意见，但关键是你要怎样求这么多三角形（甚至是无穷多个三角形）的面积呢？时光荏苒，再见已经是一千八百年后的十七世纪了。
我们用矩形来逼近原图形，容易想象，矩形的数量越多，这些矩形的面积之和就越接近曲线围成的面积。这个思路跟穷竭法类似，但是更容易理解。
这只是一段普通的化简，相信大家只要知道平方和公式是下面这样就秒懂了：
于是，我们就得到了n个矩形面积之和的表达式：
因为n是矩形的个数，n越大，矩形的数量就越多，那么这些矩形的面积之和就越接近曲线围成的面积。所以，如果n变成了无穷大，我们从“直觉”上认为，这些矩形的面积之和就应该等于抛物线围成的面积。然而，这正是问题所在：不是我不想讲清楚，而是在这个时候根本就讲不清楚。别说我讲不清楚，牛顿和莱布尼茨也讲不清楚，这跟阿基米德用穷竭法求面积时的那种精确形成了鲜明的对比。
但是到了17世纪，我们是怎么得到抛物线与x轴围成的面积等于1/3的呢？我们得到了n个矩形的面积公式：
然后，我们觉得当n越来越大的时候，后面两项1/2n和1/6n²的值会越来越小，当n变成无穷大的时候，后面两项应该就是无穷小。于是，我们就认为可以把它直接舍弃了，所以面积S就只剩下第一项1/3。但问题是，无穷小是多小？从直觉上来看，不论n取多大，1/2n和1/6n²都应该是大于0的，我们可以直接把0舍掉，但是对于并不等于0的数我们能直接舍弃掉么？这样做的合法性依据在哪里？
想想数学为什么这么令人着迷，为什么《几何原本》至今都保持着无与伦比的魅力？不就是因为数学的血液里一直流淌着无可挑剔的逻辑严密性么？
古希腊人或许早就知道17世纪这种更简单的计算方法，但是因为方法不够严密，所以他们压根不屑于使用。他们宁可绕弯使用更麻烦，但是在逻辑上无懈可击的穷竭法，因为对他们而言：逻辑的严密性，远比计算结果的实用性重要。 在对严密性和实用性的取舍上，东西方走了截然不同的两条路：古代中国毫不犹豫地选择了实用性。他们需要数学帮助国家计算税收，计算桥梁房屋等建筑工程，计算商业活动里的各种经济问题。所以，代表中国古代数学的《九章算术》，里面全是教你怎么巧妙地计算这个计算那个。也因此，古代中国会有那么多能工巧匠，会有那么多设计精巧的建筑工程。
西方则截然相反，古希腊人坚定不移的选择了严密性。他们需要严密的逻辑帮他们认识世界的本原，认识世界是由什么组成的，为什么世界会是现在这个样子。所以，代表西方古代数学的《几何原本》就是教你怎么从5个显而易见的公理出发，通过严密的逻辑一步步推导出400多个多定理，即便这些定理并不显而易见。因此，西方能诞生现代科学。
失去简单性，数学会失去很多；失去严密性，数学将失去一切。至于如何让它变得严密，后面我们会细说。
我们从开篇到现在一直在讲面积，而微积分的名字里刚好又有一个“积”字，那么，这两个“积”字有没有什么联系呢？答案是肯定的。
我们可以把微积分拆成“微分”和“积分”两个词，积分这个词当初被造出来，就是用来表示“由无数个无穷小的面积组成的面积S”。
如上图所示，如果一条曲线y=f(x)和x轴在a和b之间围成的面积为S，那么，我们就可以这样表示这部分面积S：
在第2节的例子里，我们求的是抛物线y=x²与x轴在0到1之间围成的面积。那么，在这里f(x)=x²，a=0，b=1，而且最终我们知道这个结果等于1/3，把这些都代入进去我们就可以这样写：
也就是说，代表这块面积的积分值等于1/3。为了加深一下大家对这个积分式子的理解，我们再回顾一下求抛物线围成面积的过程：我们用无数个矩形把0到1之间分成了无穷多份，然后把所有的矩形面积都加起来。因为矩形的面积就是底乘以高，而这个高刚好就是函数的纵坐标y。
所以，当我用无数个矩形来逼近原面积的时候，每个矩形的底自然就变成了无穷小，这个无穷小的底就是上面的dx。而x²表示的就是函数的纵坐标，就是矩形的高，底（dx）和高（x²）相乘不就是在求面积么？你再看看这个式子，跟前面求面积的过程是不是一样的？
不过，我还是要再强调一次，这里把dx当作一个无穷小的底，把积分当作是求面积，这些都是微积分创立初期的看法。这种看法非常符合我们的直觉，但是逻辑上是不严密的。这种无穷小量dx也招致了很多人（比如我们熟悉的贝克莱大主教）对微积分的攻击，并且引发了第二次数学危机，这场危机一直到19世纪柯西等人完成了微积分的严密化之后才彻底化解。随着微积分的涅槃重生，我们对这些基本概念的看法也会发生根本的改变。没办法，因为打死人们也不会想到：破解这种求曲线面积（求积分）的关键，竟然藏在一个看起来跟它毫无关联的东西身上，这个东西就是微积分名字里的另一半：微分。当牛顿和莱布尼茨意识到积分和微分之间的内在关系之后，数学就迎来了一次空前的大发展。
好，关于求面积（积分）的事情这里就先告一段落，接下来我们就来看看微积分里的另一半：微分。
微分学的基本概念是导数，关于导数，我在麦克斯韦方程组的里讲过一次，在里又讲过一次（在那里还讲了升级版的偏导数）。这里它是主角，我再讲一次。
在平面里画条一条直线，我们可以直观地看出这条直线的倾斜程度，而且还不难发现：不管在直线的什么地方，它的倾斜程度都是一样的。
所以，我们就可以用一个量来描述这整条直线的倾斜程度，这个概念就被形象地命名为斜率。
这就跟我们判断跑步的速度是一样的道理：给定一个固定的时间，比如10秒（相当于固定的Δx），看看你能跑多远（相当于Δy），你跑得越远（Δy越大），我就认为你跑得就越快。当然也可以反过来，给定一个固定的距离，比如100米（相当于Δy），你跑的时间越短（Δx越小），我就认为你跑得越快。学过三角函数的同学也会知道，这个斜率刚好就是这条直线和x轴夹角θ的正切值tanθ，即：tanθ=Δy/Δx。这就是说，直线和x轴的夹角θ越大，它的斜率就越大，就倾斜的越厉害，这跟经验都是一致的。
直线好说，关键是曲线怎么办？曲线跟直线不同，它完全可以在这里平缓一点，在那里陡峭一点，它在不同地方的倾斜程度是不一样的。所以，我们就不能说一条曲线的倾斜程度（“斜率”），而只能说曲线在某个具体点的倾斜程度。
切线，直观地看，就是刚好在这点“碰到”曲线的直线。因为切线是直线，所以切线有斜率，于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。
这样做很符合人们的直觉，但是它在逻辑上会有一点问题：当B点向A点移时，它是什么时候从割线变成切线的？重合的时候么？如果B点和A点重合，那就最后只剩下一个点了，我们知道“两点确定一条直线”，一个点怎么能确定一条直线呢？但是，如果B点和A点不重合的话，那么这就仍然是一条割线而不是切线啊。好，利用无穷小定义了一点上的切线，我们就可以理所当然地用过这点切线的斜率来表示曲线在这点的倾斜度了。
直线的斜率等于在直线上两点的纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值，即Δy/Δx。而切线是当曲线上A、B两点相隔无穷小时确定的直线，那么切线的斜率依然可以写成Δy/Δx，只不过这时Δx和Δy都无限趋近于0。
莱布尼茨就给这两个趋近于0却又不等于0的Δx和Δy重新取了一个名字：dx和dy，并把它们称为“微分”。
也就是说，对莱布尼茨而言，dx这个微分就是当Δx趋向于0时的无穷小量，dy也一样。虽然dx和dy都是无穷小，但是它们的比值dy/dx确是一个有限的数（所以这时候你就不能把无穷小dx当成0了，否则还怎么当除数？），这就是该点切线的斜率，这样一切似乎就都解释得通了。显然，我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线。因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊。
所以，导数f’(x)就可以表示横坐标为x的地方对应切线的斜率，它表示曲线在这一点上的倾斜程度。如果导数f’(x)的值比较大，曲线就比较陡，f’(x)比较小，曲线就比较平缓。于是，我们就可以用导数来描述曲线的倾斜程度了。
求函数的导数，就是求函数在每一点切线的斜率，而切线就是曲线上两个相距无穷小的点确定的直线。那就好说了，我们假设曲线上有一个横坐标为x的点，那么，跟它距离无穷小的点的横坐标就是x+dx，由于这个点也在曲线f(x)=x²上，所以它的纵坐标就是(x+dx)²，即：
然后，我们用这两个点的纵坐标之差f(x+dx)-f(x)除以横坐标之差(x+dx)-x就能算出x点的切线斜率。因为这个x是任意取的，所以得到的结果就是任意点的切线斜率，那么这就是导数了：
到这一步都很简单，接下来就有问题了：这上面和下面的dx到底能不能约掉？所以，似乎我们姑且把它当作一个非零的量直接给约掉，那么导数上下同时除以dx就成了这样：
这个式子看起来简洁了一些，但是后面还是拖了一个小尾巴dx。2x是一个有限的数，一个有限的数加上一个无穷小量，结果是多少？似乎还是应该等于这个具体的数。比如，100加上一个无穷小，结果应该还是100，因为如果等于100.00…0001那就不对了，无穷小肯定比你所有能给出的数还小啊，那么也肯定必须比0.00…001还小。
大家看这个导数，当x越来越大（x>0）的时候，f(x)’的值也是越来越大的。而导数是用来表示函数的倾斜程度的，也就是说，当x越来越大的时候，曲线就越来越陡，这跟图像完全一致。但是这逻辑上就很奇怪了：一个无限趋近于0的无穷小量dx到底是不是0？如果是0，那么为什么可以让分子分母同时除以它来约分；如果不是0，那又为什么可以把它随意舍弃？
数学不是变戏法，怎么能这么随意呢？于是，这个无穷小量就又招来了一堆批判。为什么说“又”呢？因为我在前面讲积分的时候就说了一次，在这里就体现得更明显了，眼见第二次数学危机大兵压境~好，我花了这么大篇幅从直线的斜率讲到了曲线的导数，这就已经进入微分学的核心领地了。为什么导数这么重要呢？
求极值可是非常重要的：军人希望他们发射的炮弹可以飞得尽可能地远；商人希望他们的利润可以尽可能地高；我们也希望去哪都能走最近的路……
这里我就不重复说三遍了，暂停一分钟，大家好好思考一下这句话，看看自己听到这句极为重要的话时有何感想。
积分和微分是一对互逆运算，这是微积分最核心的思想。把这个思想用数学语言描述出来就会得到一个定理，这个定理叫微积分基本定理。
那么，当我们在说“求面积（积分）和求导（微分）是一对互逆运算”的时候，那就是说如果有一个东西，我们对它进行积分操作（求面积）可以得到一个新东西，如果我们对这个新东西再进行微分操作（求导）又能得到原来的那个东西，这样才算互逆。
下面我给大家举一个简单的例子，让大家直观地感受下为什么积分和微分是互逆的。
大家发现没有：这其实就是积分的过程。前面求曲线围成的面积的时候，我们就是把曲线围成部分的x轴平均分成很多矩形，然后把每个矩形的面积都加起来。这里求家到学校的总距离，一样是把家到学校的时间平均分成很多份，然后把每个小份的距离都加起来。
另外，我们把时间段分得越细，每个小时间段里的平均速度就越接近瞬时速度，如果无穷细分，那么无穷小时间段里的平均速度就可以认为就是瞬时速度了。
也就是说，如果知道整个过程中的瞬时速度（或者说是无穷小时间段内的速度），我们就能精确地求出无穷小时间段内的距离，然后把所有距离加起来得到精确的总距离，这就是积分。也就是说，通过积分过程，我们能从瞬时速度求出总距离。
另一方面，要证明微分（求导）是这个过程的逆运算，我们就得证明从总距离可以求出瞬时速度。也就是说，如果已知任意时刻你从家到学校的距离，你通过微分（求导）能把瞬时速度求出来。这不是显而易见的事么？距离对时间求导，这就是速度啊，前面我们也说了“导数是一种广义的速度”。也就是说：距离除以时间，结果就是速度。你用平均距离除以平均时间得到平均速度，用瞬时距离（某一时刻的距离）除以瞬时时间（无穷小时间片段）自然就得到了瞬时速度。 这样不就完了么，通过积分，我们能从瞬时速度求出总距离来；通过微分，我们能从总距离求出瞬时速度，这就说明积分和微分是一对互逆运算。 我们也可以换个角度，从图像来更直观的看这点。
中学学物理的时候，老师一定会画速度-时间（v-t）图像。v-t图像就是在一个坐标系里，用纵轴表示物体运动的速度v，横轴表示时间t，然后分析物体的运动情况。如下图：
然后老师就会告诉你：v-t图像里它们围成的面积s就是物体运动的位移的大小（位移是有方向的距离，是一个矢量）。 你们想啊，这个坐标里横轴是时间t，纵轴是速度v，你要算它们的面积，那肯定是要用乘法的。物体做匀速运动的轨迹就是一条平行于t轴的直线，速度v1乘以时间t0刚好就是它们围成的矩形的面积s，而速度乘以时间的物理意义就是它的位移。所以，面积代表位移，刚刚好。
当物体不是匀速运动（轨迹是曲线）的时候，我就可以把时间切割成很多小段，在每一小段里把它们近似当作匀速运动，这样每一个小段的面积就代表每一个小段里的位移。
这部分逻辑并不难理解，大家只要好好琢磨一下，就会发现“积分和微分是互逆运算”这个事情是非常自然的。它在日常生活中到处都有体现，只不过我们平常没有太注意，而牛顿和莱布尼茨注意到了。知道了“积分和微分是互逆运算”能给我们带来什么呢？答案是：多一种选择。因为既然积分和微分是互逆运算，那么有些操作如果积分不擅长，我就可以把它丢给微分。
什么意思？还是以最开始求曲线围成的面积为例。我们是这样求抛物线y=x²与x轴在0到1之间围成面积的：如果用n个矩形去逼近，每个矩形的底就是1/n，n个矩形的面积之和就是这样：
当n趋向于无穷大的时候，后面两项就等于无穷小，然后结果就只剩下第一项1/3。但是，在伟大的牛顿和莱布尼茨发现了“积分和微分是互逆运算”之后，这一切就改变了。因为我们有另一种选择：积分之路如果不好走，我们可以走微分啊。
那么反过来，如果我知道有一个函数是f(x)=2x，难道我就猜不出究竟是哪个函数求导之后变成了f(x)=2x么？当然可以啊，我们完全可以根据f(x)=2x反推出原来的函数是f(x)=x²+c。为什么这里多了一个常数c？因为常数求导的结果都是0，所以就多了这样一个尾巴。
也就是说，f(x)=x²，f(x)=x²+1，f(x)=x²+3等函数的导数都是f(x)=2x，只凭f(x)=2x我们无法确定最开始函数具体是什么样子。但是，我们可以确定它一定就是x²加上一个常数c。于是，我们就把求导之前原来的函数f(x)=x²+c称为的f(x)=2x的原函数。
也就是说，s求导一次就变成了v，那么v反向求导一次就可以得到s，这时候s是v的原函数。另一方面，因为s求导一次能变成了v，那么v积分一次也能变成了s（互逆运算）。于是，v通过求原函数和积分都能得到s，所以原函数s其实就有了积分（曲线v围成面积）的效果。再简单地说，因为积分和微分是一对互逆运算，所以你反向微分（求原函数）的话，自然就“负负得正”，得到和积分一样的效果了。
这是一次非常华丽的转变，马上你就会看到这种新方法会把问题简化到什么程度，而且，正是这种力量让数学发生了根本性的改变。
13微积分基本定理
好，既然要用反向微分的方法求面积，那我们就去找f(x)=x²的原函数，看看到底是哪个函数求导之后变成了f(x)=x²。我们用F(x)来表示这个原函数，那么F(x)就是它（C为常数）：
大家不放心可以自己去验算一下，看看这个F(x)求导之后的结果是不是f(x)=x²。因为求导是一个非常重要、基础的东西，所以求一些常见函数的导数和原函数都被一劳永逸的制成了表格，大家需要的时候直接去查，记住几个常用的就行。不过，在学习的初期，大家还是要亲自去算一些求导的例子。
对，你没看错，这样就完了。F(1)-F(0)就是曲线在0到1之间围成的面积，我们这样得到的结果是1/3，跟我们原来用矩形逼近计算的结果一模一样，惊不惊喜，意不意外？但是它明显比原来的方法简单太多太多太多了，简单到一个中学生都能轻而易举地算出来，这才是微积分的真正力量。有了这样的铺垫，微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）就非常容易理解了：如果函数f(x)在区间a到b之间连续（简单理解就是曲线没有断），并且存在原函数F(x)，那么就有：
这是式子的左边就是函数f(x)与x轴在a到b区间内围成的面积，这点我们在讲积分的时候讲过了：
式子的右边就是原函数在b点和a点的差。意义也很明确：函数反向求导得到的原函数F(x)本来就表示面积，那么F(b)-F(a)自然就是这两点之间的面积之差。于是公式左右两边就都表示面积，完美！
相信大家一路看到这里，要理解这个已经不是什么难事了。所谓牛顿和莱布尼茨发明的微积分，本质上就是他们看到了“积分和微分是一对互逆运算”，于是我就可以使用“反向微分（求原函数）”的方法来处理积分的问题。
积分的逆运算不是微分么？那么我把微分再逆一次，于是就“负负得正”，又变成积分了。而“对函数求导，求原函数”比用原始定义，用无穷多个矩形去逼近曲线面积的方法要简单得多得多，并且这种方法还具有一般性。
因此，积分和微分原本是两门独立的学问，现在被牛顿和莱布尼茨统一成了微积分，这种1+1会产生远大于2的力量。于是，接下来的数学和科学都出现了空前的发展。
微积分的发明使我们求曲线围成面积的难度出现了断崖式的下降。那么，在这个过程中到底发生了什么？为什么数学可以如此有效地简化我们的问题？是我们的问题本来就很简单，以前把它想复杂了，还是我们真的把问题的复杂度降低了？
有很多“聪明”的老师会教你一些非常“有用”的解题技巧，比如，因为鸡有一个头两只脚，兔子有一个头四只脚，而现在总共有35个头，那么你把这个35乘以2，得到的70就是所有的鸡的脚加上一半的兔子的脚（因为兔子有4只脚，而你只乘以2，所以每只兔子你还有2只脚没有算）。
然后，我用总脚数94减去这个70，得到的24就是剩下的一半兔子脚，再用24除以2（一只兔子4只脚，一半就是2只）就得到了兔子的数量12。因为一共有35个头，那么用35-12=23就是鸡的数量。
不好！为什么？因为局限性太大了。我今天放鸡和兔你可以这样算，那明天我要是放点其它的动物这方法是不是就不管用了？如果下次不是数头和脚，而是去数翅膀和脚，这方法还行么？
逆向思考，这本来就是很反人类的思维方式。我们很容易从一系列原因出发得到某种结果，但是给你某种结果让你去倒着分析原因就是很困难的事情了（这不才有了侦探这个职业么）。
比如，如果我们现在知道了有23只鸡，12只兔子，然后让你去计算有多少头和脚，这是正向思维，很容易。但是，如果告诉你有多少头和脚，让你去反着思考有多少鸡和兔子，这就是逆向思维了，很麻烦。
我们毫不费力的就把这两个方程列出来了，于是这个题目基本上就做完了。因为剩下的事情就是把x和y从方程里解出来，而解方程是一件高度程序化的事情，什么样的方程怎么去求解，都有固定的方法。
老师可能会教你一些固定的方法。
数学不断地从不同领域抽象出一些相同的本质，然后尽可能地把抽象出来的东西一般化，程序化，这样我们就能越来越方便地掌握各种高级数学武器。
因此，数学越发展越抽象，越看重这种能够一般化、程序化的解决某种问题的方法。所以，方程的思想是革命性的，微积分也一样。
好，现在微积分创立了，微积分的基本定理也被正式地提出来了，接下来应该再做什么呢？你该不会以为文章到这里就要结束了吧？不不不，还远远没有。
此外，我强烈建议有抱负的同学不要急着打开微积分的课本直接去翻看这些问题的答案。我在前面已经把微积分的思想说了，大家完全可以看看自己能不能独立把这些问题推出来，实在没辙了再去翻课本，也就是孔子说的“不愤不启，不悱不发”。
像牛顿和莱布尼茨那样洞察“积分和微分是互逆运算”，然后提出微积分基本定理，这是一流科学家的素养。一流科学家提出这种重大创新之后，你能跟着把后面很自然的东西做完善，这是二流科学家的基本素养。大家在学习数学的时候要有意识地培养自己的这种能力~
有了微积分，我们发现很多物理定律都可以写成微分方程的形式，有多个变量的时候就是偏微分方程。我上三篇文章讲的麦克斯韦方程组、波动方程，后面要讲的广义相对论的场方程，都是这样。
所以，微积分在接下来的两个世纪里基本上就这样疯狂的扩张着。科学（尤其是物理学）的发展需要微积分，微积分也需要从科学里寻汲取营养，它们就这样相互促进、相互成长、相亲相爱。但是，似乎大家都忘了一个问题：此时微积分的基础并不牢固，莱布尼茨把dx视为一个无穷小量，但是无穷小量还是怎么说都说不圆。
因此，微积分最后的问题就是：如何使微积分严密化？如何把微积分建立在一个坚实的基础之上？
伽利略是公认的“现代科学之父”，他的核心观点有两条：第一，用数学定量地描述科学；第二，用实验验证科学。所以，如果你谈的是现代科学，那你就不能乱想了。
如果你还想用一些无法测量的概念来构建你的“科学体系”，那么你的方法论就是非科学的，你构建的也只是玄学而非科学，这是很多民科非常容易犯的错误。庞加莱甚至直接说：“凡是不能测量的东西，都不能算是自然科学。”
这种思想在科学昌盛的19世纪已经很普遍了，诞生于这个时期的实证主义也指出：人类不可能也不必要去认识事物的“本质”，科学是对经验的描写。他们甚至提出口号要“取消形而上学”。
总之，一切的一切就是不让你在科学里再谈那些无法测量，无法验证的概念，科学要基于实证。
那么，只能想却无法数，无法“观测”的无穷小量是不是这样的一个概念呢？虽然它很直观，但是你回顾科学的历史，反直觉的重大科学进步难道还少么？历史一次次地告诫我们：直觉不可靠，我们能依靠的只有严密的逻辑和确凿的实验。
柯西深刻地认识到：只要涉及数学概念，任何关于连续运动的一些先验的直观观念，都是可以避免，甚至是必须避免的。科学放弃了形而上学方面的努力，采用“可观测”概念之后就迎来了大发展，那数学为什么不也这样呢？
我们知道实数跟数轴上的点是一一对应的。当我们说一个量在无限趋近于0的时候，很多人脑海里浮现的画面就是一个点在数轴上不停地移动，从一个点移动到下一个点，一直靠近0这个点。
A点和B点之间永远有无数个点，也就是说A点根本就没有所谓的“下一个点”。你认为我一定要走完了A点到B点之间所有的点才能到达B点，那就不可避免地会陷入到芝诺悖论里去。因为你压根就不可能走完任何两个点之间的所有点（因为是无穷多个），所以，如果按照这种逻辑，你就根本“走不动”，所以芝诺的飞矢就飞不动了。
因此，面对这种连续的概念的时候，我们就不应该使用这种“动态的”定义。你想通过“让一个点在数轴上动态地运动来定义极限”是行不通的，这就是莱布尼茨的无穷小量栽跟头的真正原因。我们再仔细看看柯西的定义，它跟以前的差别到底在哪？你看啊，柯西虽然也有用“无限趋近”，但是他只是用这个来描述这个现象，并不是用它来做判决的。他的核心判决是后面一句：如果它同这个固定值之间的差可以随意的小，那么它就是极限。
完美甩锅！这就是柯西的核心思想。柯西就通过这种方式把那些不可测的概念挡在了数学之外，因为你能具体说出来的数，那肯定就都是“可观测”的啊。大家再看看这个定义，再想想之前莱布尼茨的想法，是不是这么回事？
然后，魏尔斯特拉斯用完全数学的语言改进了柯西的这段纯文字的定义，得到了最终的，也是我们现在教材里使用的ε-δ极限定义。
定义里的Lim就是极限的英文单词Limit的缩写，这个箭头x->a也非常形象地表达了极限这个概念。这个定义就真正做到了完全“静态”，不再有任何运动的痕迹（连柯西说的“无限趋近”、“随意的小”都没有了），也不再有任何说不清的地方。从定义你也能清楚地看出来：它根本不关心你是如何逼近L的，飞过去、跳过去、爬过去的它都不管，只要最后的差比ε小就行，我就承认你是我的极限。
这里要特别注意的是ε是任意的，任意就是说随便ε取什么你都要找到对应的δ，你不能说有10个ε满足条件就说这是极限。
这个结论是很明显的，接下来我们就来看看如何用ε-δ定义来说这个事。按照定义，我们要取一个任意小的ε，假设这里我们取ε=0.1，那么我们就要去找一个δ，看能不能找到一个范围让|f(x)-0|<0.1，显然只需要x>10就行了；取ε=0.01，就只需要x>100就行了；任意给一个ε，我们显然都能找到一个数，当x大于这个数的时候满足|f(x)-0|<ε，这样就OK了。
先看积分，我们之前认为曲线围成的面积是无数个宽度为无穷小量的矩形面积之和，于是我们在这里就被无穷小量缠上了。有了ε-δ极限之后，我们就可以刷新一下我们对积分的认知了：从现在起，我们把曲线围成的面积看成是一个极限，而不再是无数个无穷小量的矩形面积之和。
什么意思？假设我们用1个矩形逼近曲线围成的面积的时候，我把这一个矩形的面积记做S1，用两个矩形逼近的面积之和记做S2，同样的，我们记下S3，S4，S5……
一般情况，如果我们用n个矩形去逼近这个面积，这n个矩形的面积之和就记做Sn。如果这个Sn的极限存在，也就是说，随便你说出一个数字ε，我都能找到一个n的范围，让Sn和A之间的差|Sn-A|小于你给定的这个数字ε。那么，A就是这个Sn的极限。
于是，我们就说：曲线围成的面积就是这个极限A，它是n个矩形面积之和这个序列Sn的极限。
所以，我们就把这个极限过程表示的面积A定义为函数f(x)从a到b上的积分：
这样，我们的积分就成了一个由ε-δ语言精确定义的极限。这里没有那个等于0又不等于0的无穷小量，一切都清清楚楚、明明白白，没有含糊的地方，这就是第二次数学危机的终极解决之道。积分解决了，微分这边也是一样。有了ε-δ定义之后，我们就再不能把导数看成是两个无穷小量的比值（dy/dx），而是：把导数也看成一个极限，对，还是极限。
很显然，这个定义是依赖无穷小量的，我们现在要用ε-δ定义的极限来代替这个无穷小量。所以，切线就应该被理解为割线的极限，那么切线的斜率（也就是这点的导数）自然就是割线斜率的极限，所以导数f(x)’也自然而然地成了一个极限。
这才是导数的真正定义，它是一个极限，而不再是两个无穷小量dy与dx的商dy/dx。也就是说，按照极限的ε-δ定义，这个导数f(x)’的真正含义是：你任意给一个ε，我都能让割线的斜率与这个值的差比你给的ε更小。莱布尼茨当年认为导数是两个无穷小量dy和dx的商，所以他用dy/dx来表示导数。虽然现在导数不再是这个意思，但是莱布尼茨当年精心发明的这一套符号确实是非常好用，于是我们就继续沿用了下来。
也就是说，我们今天仍然用dy/dx表示导数，但是大家一定要注意，dy/dx在现代语境里是一个极限，不再是两个无穷小量的商。
如果不熟悉微积分的历史，就很容易对这些符号产生各种误解，这也是很多科普文、教科书在讲微积分时的一大难点。因为思想是新的，符号却是老的，确实很容易让人犯糊涂。于是，在莱布尼茨那里，他是先定义了代表无穷小量的微分dx和dy，然后再用微分的商定义了导数dy/dx，所以那时候导数也叫微商。
但是现在剧情完全反转了：我们现在是先用ε-δ定义了极限，然后从极限定义导数dy/dx。这里压根没有微分什么事，只不过由于历史原因我们依然把导数写成dy/dx这个样子。
答案是有意义！
蓝色切线的斜率表示在P点的导数，如果我们继续用dy/dx表示导数的话，那么从图里就可以清楚的看到：dx表示在x轴的变化量，dy就刚好表示蓝色的切线在y轴的变化量。微分的严格定义是这样的：对于Δy是否存在着一个关于Δx为线性的无穷小A·Δx（A为常数），使它与Δy的差是较Δx更高阶的无穷小。也就是说，下面这个式子是否成立：
o(Δx)就表示Δx的高阶无穷小，从字面上理解，高阶无穷小就是比无穷小还无穷小。当Δx慢慢趋向于0的时候，o(Δx)能够比Δx以更快的速度趋向于0。比如当Δx减小为原来的1/10的时候，o(Δx)就减小到了原来的1/100，1/1000甚至更多。
为了让大家对这个不怎么直观的微分概念也能有一个比较直观的概念，我们再来看一个非常简单的例子。
大家看到没有，这个式子就跟我们上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一样的。只不过我们把x和y换成了r和S，A在这里就是2πr，这里的π（Δr）²是关于Δr的平方项，这不就是所谓的高阶（平方是2阶，Δr是1阶，2比1更高阶）无穷小o(Δx)么？
它的几何意义也很清楚：这就是一个长为2πr（这刚好是圆的周长），宽为Δr的矩形的面积，好像是把这个圆“拉直”了所得的矩形的面积。关于微积分的重建，我们已经看到了如何在ε-δ定义的新极限下重新定义了积分和微分，也看到了在这种新的定义下，积分和微分的概念跟以前有什么不同。沿着这条路，我们还能非常严格的证明微积分基本定理，也能很好地处理连续性、可微性、可导性、可积性等问题。虽然在具体的计算方式上跟以前的差别不大，但是微积分的这个逻辑基础已经跟以前发生了翻天覆地的变化，这个差别大家要仔细体会。
不信你想想，一个在有理数为1，无理数为0的函数你要怎么去切块？它在任何一个地方都是不连续的，你甚至连它的图像都画不出来，怎么用矩形去逼近？所以，这里就有一个棘手的问题：一个函数到底要满足什么条件才是可以求积分的呢？
于是，我们这段跨越两千多年，从阿基米德到勒贝格的微积分之旅就要告一段落了。古希腊人和古代中国人都知道用已知的多边形去逼近复杂曲线图形，阿基米德用穷竭法算出了一些简单曲线围成的面积，刘微用正多边形去逼近圆，也就是用割圆术去计算圆周率。
20世纪60年代初，有一个叫鲁滨逊的德国人重新捡起了莱布尼茨的无穷小量。他把实数扩展到非实数，直接把无穷大和无穷小变成了非实数域里的一个元素。所以他的理论可以直接处理无穷小量，这是第一个严格的无穷小理论。
提出了不完备定理的数学大神哥德尔就对非标准分析推崇备至，他认为非标准分析将会是未来的数学分析。他说：“在未来的世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分300年后，第一个严格的无限小理论才发展起来。”
但是，我绝对相信那些真正认识了数学的人，他们是发自内心的觉得数学美丽动人。
并不是那些数学大神们很奇怪，而是他们确实看到了常人没能看到的绝美风景。
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